这一章里有一个特别有意思的话题，数学到底是被“发现”还是被“发明”的。数学是大自然原本就具有的实在的东西，是我们聪明的数学家发现了它，还是说数学是我们人类发明出来用以解释和理解现实世界的工具？这牵扯到一个问题，数学到底是实在的还是虚构的？通过对这个问题的回答，可以把哲学家分成两个阵营，一个叫作柏拉图主义，一个叫作唯名论。柏拉图主义和唯名论的区别是什么呢？柏拉图主义认为，抽象的物体是真实存在的，而唯名论认为抽象的物体只存在于人的思维当中。比如说“3”这个数字，或者“美丽”这个概念，它只存在于人的思维当中。唯名论继续发展，还会出现极端唯名论。极端唯名论认为，就连具体的事物都不存在，只存在于人的思维当中的。
这些悖论都有一个核心的问题，它们涉及了自我指涉。什么叫自我指涉？自我指涉就是自己引用了自己。还有一个类似的例子，非常精彩，有一种书叫作图书目录，比如我为历史上所有的小说列出一个目录，或者为历史上所有研究爱因斯坦的书列出一个目录，这种就叫作图书目录。假如有一本书，它要列出所有不列出自己的图书目录，就是指专门做一本列出图书目录的书，而这里选书的条件就是，这些书的图书目录都不列出自己。请问，这本图书目录要不要录入它自己？你会发现，如果这本图书目录列出了自己，那么它就不算是不列出自己的图书目录。但是，如果它不录入自己，它就少列了一本图书，因为这本书就是不列出自己的图书目录。大家听到这儿可能感觉头都大了。因为这里出现了自我指涉，当自我指涉一出现，你会发现悖论发生了。大家不要小看这个悖论，这与我们后面慢慢讲到科学、物理的世界有很大的联系。
接下来，有一个很有意思的东西，叫作有趣的数字。你们觉得1算不算一个有趣的数字？当然算，因为1是第一个自然数（自然数原先指正整数，现代数学中往往把0也归属于自然数）。那2算不算呢？2也算，2是第一个质数。3呢？3是第一个奇质数。4这个数字的有趣之处在于2×2=4，同时2+2也等于4。5也是质数。6是个完全数，也就是6=1×2×3，同时6=1+2+3等等。这样罗列下去，你会发现，只要我能够提出一个数有趣的性质，那我们就把它叫作有趣的数，任何一个无法提炼出有趣性质的数，我们就把它叫作无趣数。但是在列出很多无趣数时，这些无趣数当中又会出现一个最小的无趣数，此时，最小的无趣数就变成了一个有趣数，我们又进入了自我指涉的怪圈。
这里最重要的差别是什么呢？为什么主持人打开了一扇门以后，你换门的胜率就不是1/2，而变成2/3了呢？原因是主持人的行为输入了信息。也就是说，主持人知道哪扇门背后是羊，哪扇门背后是车，所以这时候他打开一扇门是有意义的，这个意义给你输入了信息，让你减少到了1/3的失败的可能性。假设这个主持人告诉你，他也不知道哪个是羊，哪个是车，他随便打开一扇门，如果是羊，你可以选择换门或是不换，如果他随便打开一个门是车，游戏就停止了。那么，这时候主持人打开的门后是羊，不论你都可以不换，概率没有变，还是1/2。因为主持人并没有给你输入新的信息。
怎么样，是不是特别挑战我们的智商？接下来这个悖论更有意思。有一位老师跟学生们说：“下周我要给大家进行一场突击测验。”假设这场突击测验我们是按天来算，那么接下来，作者将为大家论证，这场突击测验是无法发生的。为什么呢？首先，突击测验不可能放在周五。因为如果前四天都过完了，只剩周五一天了，那还叫突击测验吗，根本就是周五测验，所以突击测验肯定不会放在周五。那好，我们现在知道了突击测验不会在周五发生，那么突击测验也不可能放在周四。为什么不会在周四呢？因为如果我们发现到了周三都还没有进行突击测验，而之前排除了周五的可能，那么周四也不可能。既然不能放在周四，也不能放在周五，那么周三也不可能。因为如果到了周二，既然已推定周四周五不可能，那就只剩下周三，所以周三也不可能进行突击测验了。以此类推，到最后你会发现这场突击测验永远都不可能发生。这就是我们说的，从哲学角度提出来的挑战我们理性的问题。
这本书里还提到一个话题，科学究竟会不会终结，我们能否穷尽宇宙中所有的奥秘。作者说最大的问题在于，“人类发现并描述自然法则的方式是人类的”。我们描述自然的方式是我们自己创造出来的，它完全符合我们的思维构造和理性。所谓的理性是我们的理性，它是不是真的可以那么切合地解决宇宙的问题呢？真的说不准。比如，“人是一根会思考的芦苇”“人类一思考，上帝就发笑”，为什么要发笑，因为你语言不对，你是自说自话。
什么叫本体论的模糊性呢？就是某些词汇没有确切的含义的原因，是这些词汇的确切含义根本就不存在。比如说高、矮、胖、瘦、秃这样的词，它的含义到底是什么？从本体论的角度来讲，就是不存在，没有这回事。“高于6英尺”是存在的，但“高”是什么，这是没有确切定义的。相比之下，另一派哲学家们推行的是认识论的模糊性。一派是本体论，一派是认识论。认识论的模糊性是说什么呢？“他们相信模糊词存在确切定义，但我们就是不知道那究竟是什么。”这就是我们说的，从哲学的角度来看会有大量的模糊性的概念，它和我们希望能够通过理性去理解的这个世界是不一样的。
今天我们要讲的这本书，相信大家都会非常感兴趣，叫作《理性的边界》。平常我们在很多情况下会说一个人没有理性，比如一个人封建迷信，我们就说他没有理性；某个人不会算账，不会计算得失，我们就说他不够理性；或者某个人总是做出自相矛盾、完全没有逻辑的事情，我们也可以说他不具有理性。那什么是理性呢？理性是我们在文明发展过程中所使用的工具。如果一个结论是用理性的方法得出的，那么我们基本上认为它是可靠的。所以理性经常跟科学、文明、发展联系在一起，但同时它又充满着矛盾和局限性，这就是这本书所要探讨的主题。物质世界是没有矛盾的。宇宙是没有矛盾的，它是自洽的，在不断地运转。现实生活是没有矛盾的、顺畅的，但是理性却充满了矛盾和悖论。理性的悖论体现在哪儿呢？作者随手举出了几个例子。
那么接下来这章大家可以听得懂，叫作计算的复杂性。如今我们会觉得，有了这么强大的计算机，没有什么东西是它不可以算的，好像只要把数据丢到计算机里去运算，就能够得出一个结果，尤其在发明了超级计算机、量子计算机的情况下。但还是有很多问题难以求解，比如一个简单的推销员问题。有一个推销员要去其他城市推销，每个城市只去一次，且不走回头路，最后在结束旅行时回到出发的那座城市，一共有6个城市。如果他想计算出走完这6座城市的距离最短的路线，应该走哪条路线？从哪个城市到哪个城市的距离最短？这个很好算，如果只有6个城市的话，你可以列举出来从每一个城市出发，然后走不同的城市的所有可能性，就是有6！种可能性，那么6！一计算就是720种（6！=6×5×4×3×2×1=720）。也就是说，计算机如果只计算6个城市的话，很容易，720种可能性一下就排出来了。
也就是说，我们过去以为人类已经足够强大了，我们可以计算很多东西了，但是今天我们随便提出这么一个小小的要求，100个城市也不算多，现实生活中的城市比100个多多了，就这么一个现实的问题，计算机都没法计算。当然有人说现在的地图是用了其他的算法，但是你用这种传统的算法是算不出来的。类似的问题还有什么呢？比如哈密顿回路问题、集合划分问题、子集和问题、可满足性问题等，都非常复杂。我们把所有这些难以计算的问题，取名叫作NP问题。什么叫NP问题呢？就是需要2n或者n！或更少操作次数才能被解决的决策问题。这些NP问题能列举出无数个我们没法解决的问题。这里有张图，我觉得能够给我们一些感觉。
今天我们要讲的这本书，相信大家都会非常感兴趣，叫作《理性的边界》。平常我们在很多情况下会说一个人没有理性，比如一个人封建迷信，我们就说他没有理性；某个人不会算账，不会计算得失，我们就说他不够理性；或者某个人总是做出自相矛盾、完全没有逻辑的事情，我们也可以说他不具有理性。那什么是理性呢？理性是我们在文明发展过程中所使用的工具。如果一个结论是用理性的方法得出的，那么我们基本上认为它是可靠的。所以理性经常跟科学、文明、发展联系在一起，但同时它又充满着矛盾和局限性，这就是这本书所要探讨的主题。物质世界是没有矛盾的。宇宙是没有矛盾的，它是自洽的，在不断地运转。现实生活是没有矛盾的、顺畅的，但是理性却充满了矛盾和悖论。理性的悖论体现在哪儿呢？作者随手举出了几个例子。
接下来我们来看一些挑战直觉的数学问题。数学也会挑战我们的直觉，比如有一个特别有意思的故事，叫作“希尔伯特酒店”。希尔伯特是一位很有名的数学家，跟爱因斯坦差不多同属一个时代。他提出，假如有一个酒店叫希尔伯特酒店，这个酒店有无限个房间，房间号从1到无穷大。有一天，房间都住满了，酒店满员了，无限个房间里住满了人。这个时候，门铃突然响了，进来了一个饥寒交迫的旅客。这个旅客要住店，请问他能不能够住得进去？你会想，酒店都住满了还怎么住进去，但那个店主却说可以住。店主摁开大喇叭说：“请每一个住客到自己的下一间房间去住。”也就是1号房间的客人去2号房间住，2号的去3号，3号的去4号……每一个住客都到自己的下一个房间去住，然后1号就空出来了，这个人就住进去了。
你是认同柏拉图主义，认为抽象的事物是具体存在的，像“数学”“美好”“伟大”这样的概念是具体存在的，还是认为它们根本不是实在的，只存在于我们的思想当中？作者说，不要认为你可以轻易地在这两个阵营中做出“正确的”选择。就连那些数学巨人们也在支持不同的结论。
那接下来我们讲科学的局限。樊登读书（帆书）的会员们，应该都很熟悉混沌和分形问题，我们讲过《复杂》和《深奥的简洁》，书里都详细地论述了关于混沌和分形的问题，在这本书中再次提到了这些问题，我们就可以省略地讲。比如亨利·庞加莱（法国最伟大的数学家之一，也是理论科学家和科学哲学家，公认的代数拓扑创始人之一，他提出的庞加莱猜想是数学中著名的千禧难题之一），他说如果我们知道宇宙的每一个细节，我们就可以计算这个宇宙，但是我们是无法计算的，因为它处于一个混沌状态。也就是说，输入端的微小差别，就会导致其后大量的差异。
举个例子，我们在科学的追求过程当中使用演绎法和归纳法，这是很常见的，但是演绎法和归纳法都有着非常大的逻辑问题。归纳法用得再多，你找到了一万个一致的事情，也不能够得出一个结论，认为不可能出现第一万零一个不同的东西，这就是归纳法的问题所在。演绎法（三段论）需要大前提和小前提，然后推出一个结论，这时演绎法的软肋在于，大前提来自归纳法，所以演绎法和归纳法都不一定具备准确的科学性。
我们在前面讲了理性的边界，人类的思维犯了这么多错，我们的认识有这么多的局限性，我们的能力这么有限，但是我们在宇宙当中却生活得如此惬意，整个宇宙似乎就是为我们人类量身打造的一样。那你们想想看，假如地球和太阳之间的引力大一点或者小一点，假如太阳释放的能量大一点或者小一点，假如人类在发展的过程当中，智人的智商再低上十个点，或者陨石往地球上飞的过程中，再次出现一颗大陨石，就像终结了恐龙时代的大陨石那样，我们这个文明都会无法存在，甚至地球上可能就不会有生命。也就是说，地球要想成为今天的地球是极其难以实现的。当然，你可以用进化论的角度来看待，认为这的确是一个偶然，但是这个偶然的发生来自进化，在进化选择的过程当中，地球慢慢变成了今天这个样子。所以不是说我们人类真的有这么幸运，而是各种选择产生了这样的结果。但是这样的解释似乎过于简单了。阿尔伯特·爱因斯坦写道：
爱因斯坦到了晚年的时候，为什么那么反对量子力学，就是因为它破坏了因果律。如果你承认量子力学的存在，那么就没有因果律存在了。一件事发生后一定会有一个确定的结果，这种确定性被破坏掉了。所以爱因斯坦觉得，量子力学不可能存在，这是假的。那么在我们的有生之年，或者更晚的时候，是否可能发现一种把这两者结合起来的大一统理论呢？比如量子引力就是同时描述引力和量子力学所描述的基本作用力，所以它有可能会成为一种万物理论，或者说是大统一的理论。还有比如说弦理论、圈量子引力论、非交换几何等。
这一章里有一个特别有意思的话题，数学到底是被“发现”还是被“发明”的。数学是大自然原本就具有的实在的东西，是我们聪明的数学家发现了它，还是说数学是我们人类发明出来用以解释和理解现实世界的工具？这牵扯到一个问题，数学到底是实在的还是虚构的？通过对这个问题的回答，可以把哲学家分成两个阵营，一个叫作柏拉图主义，一个叫作唯名论。柏拉图主义和唯名论的区别是什么呢？柏拉图主义认为，抽象的物体是真实存在的，而唯名论认为抽象的物体只存在于人的思维当中。比如说“3”这个数字，或者“美丽”这个概念，它只存在于人的思维当中。唯名论继续发展，还会出现极端唯名论。极端唯名论认为，就连具体的事物都不存在，只存在于人的思维当中的。
这些悖论都有一个核心的问题，它们涉及了自我指涉。什么叫自我指涉？自我指涉就是自己引用了自己。还有一个类似的例子，非常精彩，有一种书叫作图书目录，比如我为历史上所有的小说列出一个目录，或者为历史上所有研究爱因斯坦的书列出一个目录，这种就叫作图书目录。假如有一本书，它要列出所有不列出自己的图书目录，就是指专门做一本列出图书目录的书，而这里选书的条件就是，这些书的图书目录都不列出自己。请问，这本图书目录要不要录入它自己？你会发现，如果这本图书目录列出了自己，那么它就不算是不列出自己的图书目录。但是，如果它不录入自己，它就少列了一本图书，因为这本书就是不列出自己的图书目录。大家听到这儿可能感觉头都大了。因为这里出现了自我指涉，当自我指涉一出现，你会发现悖论发生了。大家不要小看这个悖论，这与我们后面慢慢讲到科学、物理的世界有很大的联系。
接下来我们来看一些挑战直觉的数学问题。数学也会挑战我们的直觉，比如有一个特别有意思的故事，叫作“希尔伯特酒店”。希尔伯特是一位很有名的数学家，跟爱因斯坦差不多同属一个时代。他提出，假如有一个酒店叫希尔伯特酒店，这个酒店有无限个房间，房间号从1到无穷大。有一天，房间都住满了，酒店满员了，无限个房间里住满了人。这个时候，门铃突然响了，进来了一个饥寒交迫的旅客。这个旅客要住店，请问他能不能够住得进去？你会想，酒店都住满了还怎么住进去，但那个店主却说可以住。店主摁开大喇叭说：“请每一个住客到自己的下一间房间去住。”也就是1号房间的客人去2号房间住，2号的去3号，3号的去4号……每一个住客都到自己的下一个房间去住，然后1号就空出来了，这个人就住进去了。
那么接下来这章大家可以听得懂，叫作计算的复杂性。如今我们会觉得，有了这么强大的计算机，没有什么东西是它不可以算的，好像只要把数据丢到计算机里去运算，就能够得出一个结果，尤其在发明了超级计算机、量子计算机的情况下。但还是有很多问题难以求解，比如一个简单的推销员问题。有一个推销员要去其他城市推销，每个城市只去一次，且不走回头路，最后在结束旅行时回到出发的那座城市，一共有6个城市。如果他想计算出走完这6座城市的距离最短的路线，应该走哪条路线？从哪个城市到哪个城市的距离最短？这个很好算，如果只有6个城市的话，你可以列举出来从每一个城市出发，然后走不同的城市的所有可能性，就是有6！种可能性，那么6！一计算就是720种（6！=6×5×4×3×2×1=720）。也就是说，计算机如果只计算6个城市的话，很容易，720种可能性一下就排出来了。
作者在书中写了一个特别有意思的比喻。假如有一天晚上，你行驶在高速公路上，开着开着车觉得实在是太累了，刚好发现路边有一个汽车旅馆，你想入住这个旅馆，结果进到这个汽车旅馆的房间里时，突然发现这个房间里的一切都是为你量身定制的，衣服、鞋子甚至鞋子磨旧的程度都那么熟悉亲切，不论是鞋子的大小还是衣服的大小，所有的东西都让你心满意足，觉得特别舒适。在你从来没有来过的荒郊野外的路边店里，为什么会有一个根据你的身形量身打造的房间？这像不像是一部恐怖小说的开场？但这种感觉就是我们人类生活在宇宙当中的感觉。