这时候你发现，圆如果可以被切到无穷块，那它将会成为一个相当标准的矩形。请问这个矩形的高是多少呢？是半径。那个长的一边呢？是二分之一个周长，也就是πd÷2。πd÷2不就是πr吗？再乘以半径，得出是πr²。现在大家知道πr²是怎么来的了吗？就是通过切分想象出来的。所以古人能通过切分到无穷的程度，想象出来这么一个构造，解决了测量圆面积的问题，这就是微积分的思想。
“尽管如此，他的成果仍然比不上牛顿和莱布尼茨即将发现的那个秘密，后者彻底改变并统一了微积分的两个部分。费马已经很接近这个秘密了，但遗憾的是，他错过了它。缺少的一环与他创造的某个东西有关，这个东西就隐含在他求最大值和切线的方法中，但他从未意识到它的重要性。它后来被人们称为导数，它的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。”
请问，再弯曲的曲线在这一小段上拿显微镜去看，是不是都像是一条直线？这就是微积分的方法。然后发现那个看起来很奇怪的曲里拐弯的曲线，在这个点上就是一条斜线，是直的。 这时候我们就容易理解了，所以这就是求导数。这些东西是牛顿、莱布尼茨他们这些人帮我们解决了。所以可以怎么理解呢？牛顿和莱布尼茨帮我们驯化了数学，驯化了这头难以掌控的野兽。
鸡尾酒疗法是什么呢？通俗点讲，就是在这十年时间里，给你的白细胞帮忙，让你的白细胞能够更厉害一点。所以现在艾滋病已经变成了一个慢性病，基本上它不会像过去那样，得了就死了。只要你长期吃药，就能够一直活下去，这是多么了不起的发现！而这个发现的背后，就是大量的我们大家看起来很头疼的数学公式。1996年，何大一博士被评选为《时代》周刊的年度风云人物，厉害吗？这就是微积分的力量。
对于一台运行频率为2.45千兆赫的标准微波炉，你会发现两个相邻熔点之间的距离大约是6厘米，这是从波峰到波谷的距离，也就是半波长。那么实际上它的波长就是12厘米。顺便说一下，怎么用它计算光速呢？将微波炉的振动频率乘以你在实验中测得的这个波长，就能够得出光速，或者非常接近光速的结果，就那么好玩。
在下一个时间段，当阿喀琉斯又走到乌龟原来的位置，在相同时间内，乌龟又往前挪了一点点。所以结论出来了，阿喀琉斯永远追不上乌龟。有道理吗？这个命题我现在不挑战大家了，因为人类自古到今天，无法解释这个问题。最后有数学家解释说，你不知道极限吗？乌龟每次走得少一点，少一点，少一点，最后加在一起，不会超过1。
那时候也没有微积分的工具，所以他的办法是在这个弓形内画一个三角形，但是两边多出两个耳朵，这两个耳朵怎么办呢？再画两个三角形，这不就又接近一点了吗？把面积又抠小了一点，又多出四个小耳朵，再画四个三角形，然后把这个三角形无穷无尽地画下去，最后一直画到什么程度呢？画到无穷小的程度，把那个极小值忽略掉，得到的几乎就是那个弓形的面积了。因为无法用无穷来算，所以这个叫作忽略极小值。这就是阿基米德当年所用的研究弓形面积的方法。
现在大家对无穷有概念了，无穷是了解微积分的第一步。你得能够想象出一个无穷小，但它不是0，然后去模拟接下来的运动。运动之谜的奠基人是伽利略。伽利略认为宇宙是一部伟大的著作，而这部著作是用数学的语言写成的。就是说你如果不懂数学，你无法读懂这个宇宙。咱们在《机械宇宙》那本书里边详细地讲过伽利略发现运动之谜的过程，大家有机会去听一下《机械宇宙》就知道了。
“尽管如此，他的成果仍然比不上牛顿和莱布尼茨即将发现的那个秘密，后者彻底改变并统一了微积分的两个部分。费马已经很接近这个秘密了，但遗憾的是，他错过了它。缺少的一环与他创造的某个东西有关，这个东西就隐含在他求最大值和切线的方法中，但他从未意识到它的重要性。它后来被人们称为导数，它的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。”
请问，再弯曲的曲线在这一小段上拿显微镜去看，是不是都像是一条直线？这就是微积分的方法。然后发现那个看起来很奇怪的曲里拐弯的曲线，在这个点上就是一条斜线，是直的。 这时候我们就容易理解了，所以这就是求导数。这些东西是牛顿、莱布尼茨他们这些人帮我们解决了。所以可以怎么理解呢？牛顿和莱布尼茨帮我们驯化了数学，驯化了这头难以掌控的野兽。
天哪，也就是说他不能把机翼当作一个整板，他要把机翼切成一个一个的小形状，这些小形状之间还要互相传导力量，最后才能够算出来机翼的安全承受力。所以你坐飞机的时候，不同的飞机颠簸程度是不一样的。千万别把颠簸程度简单地当作是今天运气不好，遇上风了。不是，你坐糟糕的飞机就会颠得厉害，你坐新的、大的、好的飞机，就会颠得轻，因为它的计算能力更强了。这就是我们的生活所受益的地方，所以我相信讲到这儿，大家基本上能够理解为什么我们要让孩子学微积分，为什么我们需要好好学微积分。
那时候也没有微积分的工具，所以他的办法是在这个弓形内画一个三角形，但是两边多出两个耳朵，这两个耳朵怎么办呢？再画两个三角形，这不就又接近一点了吗？把面积又抠小了一点，又多出四个小耳朵，再画四个三角形，然后把这个三角形无穷无尽地画下去，最后一直画到什么程度呢？画到无穷小的程度，把那个极小值忽略掉，得到的几乎就是那个弓形的面积了。因为无法用无穷来算，所以这个叫作忽略极小值。这就是阿基米德当年所用的研究弓形面积的方法。
“反过来，时间也可以确定你的位置。GPS（全球定位系统）的24颗卫星在12000英里的高空绕轨运行，当你使用汽车上的GPS导航仪时，你的设备至少会从其中的4颗卫星那里接收无线信号。每颗卫星都搭载着4台原子钟，它们的时间精密度均可以达到纳秒（十亿分之一秒）级。你的接收器会收到多个可见卫星发出的一连串信号，其中每个信号的时间戳都可以精确到纳秒。这正是需要用到原子钟的地方，它们惊人的时间精密度被转化成我们期望GPS具有的空间精密度。”
有一个有意思的事是，伽利略和开普勒之间经常互相通信，他们俩是朋友。大家都不明白，为什么17世纪会是人类的一个分界线，人们从17世纪开始走入科学，17世纪以前都是宗教。原因就是17世纪有了邮政系统，邮政系统使得像伽利略、开普勒和牛顿这些人可以互相写信来矫正自己的思想，所以才会有了同行的评议、有了共识，后来会诞生了英国皇家学会。所以人类世界的种种变化背后，都有它的技术原因。
“他在解析几何和切线方面的研究开辟了一条通往微分学之路，其他人将沿着这条路继续前进。他高超的代数技巧让他能够求出某些曲线下方的面积。”他求曲线下方面积的方法是把这条曲线用一根一根的梁支起来。你想象有很多根小的矩形，然后把这个小的矩形的面积算出来，加在一起，不就是等于这个曲线的面积了吗？
“牛顿的隐秘源泉就是微积分基本定理。尽管他和莱布尼茨都不是最早注意到这个定理的人。”但他们创立的方法，现在已经普及开来。微积分这头怪兽被拔除了尖牙，变成了青少年的家庭作业。所以我就想跟孩子们讲，你今天学高等数学、学微积分，觉得很头疼。假如你能把它当作一头被拔掉了尖牙的怪兽来对待，你不觉得自己无上光荣吗？你的先辈帮你解决了这个问题，让你能够很愉快地计算这个奇怪的图形的面积，这是一件多么光荣的事情！
我们刚刚讲的所有的东西，你听起来已经很复杂了，但它只是常微分方程。常微分方程就是只有一个变量的方程，但是我们在生活当中，其实面临的是更多个变量。比如说飞机的机翼一展开，在天上这样抖。飞机的机翼是多么复杂的形状，它不是圆形、不是圆柱、不是圆锥，它全是弧线和曲面。天上的风的力量极大，如果你不能够很好地计算这个翅膀所承受的每一个点的力量，你怎么知道它飞着飞着不会掉了呢？
包括我们用的微波炉，完全是用微积分发明出来的。当年一个研究武器的公司发现了用在武器上的磁控管，但是不知道民用该怎么用。后来有一个实验人员在用磁控管做实验的时候，突然发现自己口袋里的花生巧克力化掉了，原因是磁控管产生的波会使得巧克力内部发生振动，从而加热。
那么什么是微积分？微积分就是想让复杂的问题变得简单的一个方法。世界比我们想象得复杂得多，比如说这个杯子的形状，不是一个简单的形状，它很复杂。如果我们只用简单的平面几何、立体几何，是无法计算清楚的。但是微积分就有办法让它简单化，这个过程就是微积分的总体思路。它的方法是什么呢？就是把复杂的问题切分成多个简单的部分，切分到什么程度？到无穷的程度。
第三个叫作变化之谜，就比如说你体内的细胞增长了、减少了，这个变化的速率是不均匀的，所以用简单的加减乘除根本无法计算。我们过去经常非常狂妄地讲“我学了太多数学都没用”，因为到了社会上以后，我们用到的数学公式基本上没有超过加减乘除，偶尔在买房的时候需要用到“平方”。我们会说“我从来不知道log是什么，照样过得很好”，我们太狂妄了。
大家千万不要觉得这个方法过时，直到今天三维建模还是采用这个方法，比如说《怪物史莱克》全部都是用三角形来建模的。也就是说其中的人物有多清晰，取决于他们用的那个小三角形有多小，当那个三角形小到足够小的时候，就和一条完美的弧线是一样的。所以直到今天，阿基米德所用的这个方法，我们的计算机和数学建模依然在用，只不过计算机增加了它运算的能力，多了不起！
“尽管如此，他的成果仍然比不上牛顿和莱布尼茨即将发现的那个秘密，后者彻底改变并统一了微积分的两个部分。费马已经很接近这个秘密了，但遗憾的是，他错过了它。缺少的一环与他创造的某个东西有关，这个东西就隐含在他求最大值和切线的方法中，但他从未意识到它的重要性。它后来被人们称为导数，它的应用将远远超出曲线及其切线的范畴，能够涵盖任何种类的变化。”